Алексей Цыганов родился в 1976 году в Иванове. С пяти лет учился игре на скрипке у своего отца. Окончил музыкальную школу по специальностям «скрипка» и «фортепиано», Академическое музыкальное училище при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского и затем консерваторию (класс Игоря Фролова).
Во время учебы в консерватории начал концертировать, выступая сольно и в составе камерных ансамблей. Гастролировал по России, в Бельгии, Италии, Австрии, Германии, Франции, Чехии, Болгарии, Румынии, Украине, Японии, Китае, Южной Корее, Тайване, Малайзии, Камбодже.
Сотрудничал со многими коллективами, среди которых оркестры Московской консерватории под руководством Анатолия Левина (концертмейстер), «Московская камерата» под руководством Игоря Фролова (солист), Молодежный симфонический оркестр «Филармония наций» под руководством Юстуса Франтца, «Виртуозы Москвы» под руководством Владимира Спивакова, Филармонический оркестр Овьедо (концертмейстер вторых скрипок), Оркестр Валенсии (приглашенный концертмейстер), Филармонический оркестр фонда Райнхольда Вюрта в Кюнцельзау (Германия), ансамбли «Новые имена» и «Премьера» под руководством Игоря Дронова (концертмейстер), Moscow String Quintet в Овьедо (руководитель), Arco Quartett (Германия).
С 2014 года – концертмейстер группы вторых скрипок Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова.
Сотрудничал с Мстиславом Ростроповичем, Наталией Гутман, Ириной Кандинской, Алексеем Мельниковым, Арой Богданяном, Сергеем Кравченко, Наталией Шаховской, Игорем Фроловым, Виктором Пикайзеном, Игорем Ойстрахом и другими известными артистами.
С 2018 года проводит мастер-классы в разных оркестрах.
