Анна Цыбулёва окончила Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку МГК (класс профессора Людмилы Рощиной), продолжила обучение в Базельской академии музыки (класс профессора Клаудио Мартинеса Менера).
В 2015 году одержала победу на престижном конкурсе пианистов в Лидсе (Великобритания), став второй в истории конкурса женщиной, получившей главную награду. Лауреат международных конкурсов в Хамамацу и Такамацу (Япония) и других состязаний.
Выступала в Уигмор-холле в Лондоне, Тонхалле в Цюрихе, зале Консертгебау в Амстердаме, Шанхайском восточном центре искусств и на других престижных сценах.
Сотрудничает с известными коллективами, в числе которых Лондонский, Люцернский и Базельский симфонические оркестры, оркестр Мариинского театра, Национальный филармонический оркестр России, Российский национальный оркестр, Токийский филармонический оркестр, Симфонический оркестр Сингапура.
Выступала с известными дирижерами, среди которых Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Юрий Темирканов, Александр Лазарев, Ален Альтиноглу, Марин Олсоп, Марк Элдер, Джозеф Бастиан, Дункан Уорд, Джонатон Хейворд, Джошуа Вайлерштайн.
Выпустив несколько сольных альбомов, Анна подписала в 2019 году эксклюзивный контракт с британским звукозаписывающим лейблом Signum Classics, для которого записала Второй фортепианный концерт Брамса с Немецким симфоническим оркестром Берлина и 24 прелюдии Дебюсси.
В 2019 году вошла в состав жюри Международного телевизионного конкурса юных музыкантов «Щелкунчик». С 2021 года — артистка фирмы Yamaha. Идеолог и куратор фестиваля музыки и науки «Выше звука».
