Антон Кулапов родился в Москве. Окончил ДМШ имени К. Н. Игумнова (класс альта Валерии Ганусич), Академическое музыкальное училище при Московской консерватории (класс альта Лидии Гущиной). В училище активно занимался квартетом в классах Альберта Кочергина и Галли Матросовой. В составе училищного квартета принимал участие в музыкальном фестивале в Ньирбаторе (Венгрия).
В 1987 году был призван в ряды Советской Армии, проходил службу в струнной группе Ансамбля песни и пляски МО ПВО, в составе которого гастролировал по всему Советскому Союзу, а также в Италии, Франции, Швейцарии, Германии и Австрии.
В 1996 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (классы альта профессоров Фёдора Дружинина и Юрия Тканова, классы квартета профессоров Николая Забавникова и Рафаэля Давидяна), затем продолжил обучение в ассистентуре-стажировке МГК (класс профессора Юрия Тканова).
В 1992–1998 гг. – помощник концертмейстера группы альтов Московского симфонического оркестра под управлением Антонио де Альмейды. С 1996 года – артист Москонцерта и участник «Элеонора-квартета». В 1998 году с друзьями-единомышленниками создал «Моцарт-квартет», в составе которого выступает в России и за рубежом.
С 1999 года – артист Государственного камерного оркестра «Виртуозы Москвы», участник ансамбля солистов «Виртуозы Москвы». Заслуженный артист Российской Федерации.
