Шота Гогодзе родился в 1978 году в Тбилиси. Окончил Центральную музыкальную школу (колледж) имени Евгения Микеладзе и магистратуру Тбилисской государственной консерватории имени Вано Сараджишвили (класс кларнета Давида Джишкариани). В 2000–2001 гг. стажировался в Региональной консерватории Ниццы у Мишеля Летьека. Посещал мастер-классы Эдуарда Бруннера, Поля Мейера, Чарльза Найдика.
Был стипендиатом Международного благотворительного фонда Владимира Спивакова (1999–2000), награждался стипендией Президента Грузии (2003).
Лауреат национальных и международных конкурсов и фестивалей.
Творческую карьеру начал в 2002 году. В разные годы был солистом оркестра Тбилисского оперного театра, Тбилисского симфонического оркестра имени Джансуга Кахидзе, Национального симфонического оркестра Грузии имени Евгения Микеладзе и оркестра Большого театра Узбекистана имени Алишера Навои (Ташкент). Выступал с Государственным квартетом Грузии, ансамблем современной музыки Georgia Modern.
В составе различных коллективов гастролировал во Франции, Италии, Германии, а также в Москве и Санкт-Петербурге.
С 2006 года преподает в Центральной музыкальной школе Тбилиси, в 2020–2022 гг. – доцент кафедры камерного ансамбля Тбилисской государственной консерватории.
